Test t cz. II

Test t dla prób niezależnych

Test t dla dwóch prób niezależnych jest używany do testowania hipotezy o przynależności dwóch prób do rozkładu o tej samej średniej.

Teoria dla testu t dla prób niezależnych w założeniach jest bardzo podobna do teorii testu dla jednej próby. Dane pochodzą z dwóch prób: \(x_{11},x_{12},x_{13},...,x_{1n}\) oraz \(x_{21},x_{22},x_{23},...,x_{2n}\). Zakładamy że dane pochodzą z rozkładu \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\), \(N(\mu_2,\sigma_2^2)\) i hipoteza zerowa ma postać \(\mu_1=\mu_2\). Statystykę te możemy obliczyć według wzoru:\[t=\frac{\overline{x}_2-\overline{x}_1}{SEDM}\] gdzie błąd standardowy różnicy średnich - SEDM obliczamy jako:\[SEDM=\sqrt{SEM_1^2+SEM_2^2}\].

Istnieją dwa algorytmy pozwalające obliczyć SEDM, jeden z nich zakłada równość wariancji w obu grupach (jest to tz. model “klasyczny”). Drugi natomiast dopuszcza różne wariancje w badanych grupach. W podejściu “klasycznym” obliczamy połączoną wariancję \(s\), na podstawie odchylenia standardowego grupy 1 i 2 i podstawiamy do wzoru na SEM. W tym przypadku wzór na wartość \(t\) przyjmie postać: \[t=\frac{\overline{x}_2-\overline{x}_1}{\sqrt{s^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\] Wariancję \(s^2\) obliczamy stosując wzór: \[s^2=\frac{\sum{(x_{1i}-\overline{x}_1)^2+\sum{(x_{2i}-\overline{x}_2)^2}}}{n_1+n_2-2}\] Wartość t będzie należeć do rozkładu t o \(n_1+n_2-2\) stopniach swobody.

Alternatywna procedura zaproponowana przez Welcha, zakłada obliczenie SEM z oddzielnych wariancji grup 1 i 2. W tym przypadku wartość t nie należy do dystrybucji t, ale może być przybliżone na podstawie dystrybucji t o liczbie stopni swobody, która może zostać obliczona na podstawie \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) i wielkości grup. Zazwyczaj nie jest to liczba całkowita.

Ogólnie przyjmuje się, że procedura według Welcha jest bezpieczniejsza bo nie wymaga spełnienia warunku równości wariancji w obydwu grupach. Zazwyczaj wyniki obu wariantów testu są bardzo zbliżone (jeżeli nie ma dużych różnic między wielkością grupy i wariancją pomiędzy grupą 1 i 2).

Algorytm postępowania - test t dla grup niezależnych

Formułujemy hipotezę zerową (\(H_0\)) oraz alternatywną (\(H_A\))
Testujemy hipotezę (wykonujemy test statystyczny)
Na podstawie wyników testu odrzucamy lub nie odrzucamy hipotezę zerową

Przykład 1 W pliku Cw3_1.txt znajdują się pomiary zawartość próchnicy w glebie w dwóch gospodarstwach - A oraz B. Przyjmując poziom istotności \(\alpha=0.05\) odpowiedz czy zawartość próchnicy w gospodarstwie A i B jest na takim samym poziomie.

Formułujemy hipotezy:

\(H_0: \overline{x}_A=\overline{x}_B\)
\(H_A: \overline{x}_A\neq\overline{x}_B\)

Testujemy hipotezę:

wczytujemy dane do R
wykonujemy test t (klasyczny = zakładamy równość wariancji w grupie A i B)

Na podstawie wyników testu wyciągamy wnioski i udzielamy odpowiedzi na pytanie

# ad2
# wczytanie danych do R (plik tekstowy, dwie kolumny, wartości z nagłówkami, odzielone znakiem tabulacji)
dane <- read.csv('~/konas13@gmail.com/Dokumenty/Dydaktyka/Statystyka_Ochrona_Srodowiska/Cw_3_Test_t_czII/Cw3_1.txt',sep="\t")
dane

# obliczamy statystykę t
# 1 obliczamy wariancję s^2
a <- dane$A[!is.na(dane$A)]
a

## [1] 300 260 310 270 310 280 290 300 290

b <- dane$B
a

## [1] 300 260 310 270 310 280 290 300 290

s2 <- (sum((a-mean(a))^2)+sum((b-mean(b))^2))/(length(a)+length(b)-2)
s2

## [1] 317.6471

# obliczamy t
t <- (mean(b)-mean(a))/sqrt((s2/length(a))+(s2/length(b)))
t

## [1] 3.663475

Na podstawie obliczonej statystyki \(t\) wnioskujemy na temat przyjętej hipotezy zerowej. W tym celu musimy znaleźć wartość graniczną \(t_\alpha\), przy \(\alpha=0.05\).

ta <- qt(0.95,(length(a)+length(b)-2))
ta

## [1] 1.739607

Na podstawie otrzymanych wyników odrzucamy \(H_0\) na rzecz \(H_A\), na poziomie istotności \(\alpha=0.05\), ponieważ obliczona statystyka \(t\) jest większa od wartości granicznej \(t_\alpha\).

t > ta

## [1] TRUE

Po przeprowadzeniu testu statystycznego możemy odpowiedzieć, że zawartość próchnicy w glebie w gospodarstwie A i B jest różna (na poziomie istotności \(\alpha=0.05\)).

Możemy także wykorzystać wbudowaną funkcję R dla testu t - t.test(). Domyślnie funkcja t.test wykorzystuje algorytm Welcha, jeżeli chcemy użyć algorytmu “klasycznego”, musimy podać parametr var.equal = T.

t.test(a,b, var.equal = T)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  a and b
## t = -3.6635, df = 17, p-value = 0.001925
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -47.27716 -12.72284
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##       290       320

W przypadku użycia funkcji t.test, wnioskujemy na podstawie pvalue, a nie wartości granicznej \(t_\alpha\). Wnioskowanie jest takie samo.

Na podstawie otrzymanych wyników odrzucamy \(H_0\) na rzecz \(H_A\), na poziomie istotności \(\alpha=0.05\), ponieważ pvalue jest mniejsza od \(\alpha\).

wynik <- t.test(a,b, var.equal = T)
wynik$p.value < 0.05

## [1] TRUE

Graficzna prezentacja wyników

Wyniki pomiarów zawartości próchnicy w glebie w gospodarstwie A oraz B możemy przedstawić graficznie za pomocą wykresu słupkowego barplot.

# tworzymy wektor z średnimi dla gos. A oraz B
sr <- c(mean(a),mean(b))
# tworzymy wektor z nazwami, użyjemy ich przy tworzeniu wykresu
sr_nemes <- c("Gos. A", "Gos.B")
# tworzymy wektor z wartościami  SEM, użyjemy ich przy tworzeniu słupków błędu
sr_SEM <- c(sd(a)/sqrt(length(a)),sd(b)/sqrt(length(b)))
# tworzymy wykres
wykres <- barplot(sr, names.arg = sr_nemes, ylim = c(0,350), 
                  main = "Zawartość próchnicy w glebie", col = 'red')
# dodajemy do wykresu słupki błędów (SEM)
segments(wykres, sr - sr_SEM, wykres,
         sr + sr_SEM, lwd = 1.5)
arrows(wykres, sr - sr_SEM, wykres,
       sr + sr_SEM, lwd = 1.5, angle = 90,
       code = 3, length = 0.05)

Ćwiczenie 1

W pliku Cw3_2.txt znajduje się zestawienie plonów pszenicy z dwóch sąsiednich gmin. Na poziomie istotności \(\alpha=0.05\) odpowiedz, czy średnie plony pszenicy w tych gminach są na tym samym poziomie?

Sformułuj \(H_0\) oraz \(H_A\)
Wykonaj test statystyczny
Wyciągnij wnioski (odpowiedz na postawione pytanie)
Przedstaw wyniki graficznie (wykres słupkowy)

Analiza danych w formacie ‘stack data’

W środowisku R często spotykamy się z zapisem wyników pomiarów (danych) w “formacie stack”, co oznacza, że mamy dwie kolumny. Pierwsza kolumna zawiera wartości (wyniki pomiarów), a druga kolumna informacje o przynależności pomiaru do danej grupy.

R posiada wbudowaną funkcję stack oraz unstack, która pozwala na zmianę formatu zapisu danych.

# zmieniamy format danych na stack
dane1 <- stack(dane)
dane1

# możemy zmienic nazwy kolumn, aby były bardziej informatywne
colnames(dane1) <- c("Zaw.pr", "Gosp")
dane1

W przypadku danych w formacie ‘stack’ możemy wykonać test t korzystając z zapisu ~.

t.test(Zaw.pr~Gosp, data = dane1, var.equal = T)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  Zaw.pr by Gosp
## t = -3.6635, df = 17, p-value = 0.001925
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -47.27716 -12.72284
## sample estimates:
## mean in group A mean in group B 
##             290             320

Test F dla wariancji

W celu sprawdzenia hipotezy o równości wariancji w badanych próbach wykorzystamy funkcje var.test, która implementuje test F w R. W teście tym zakładamy, losowość prób, rozkład normalny i niezależność wyników. Wzór na statystykę testową f ma postać: \[f=\frac{s^2_1}{s^2_2}\] Obliczoną wartość statystyki \(f\) porównujemy z wartością graniczną \(f_\alpha\), o liczbach stopni sfobody \(n_1 - 1\) oraz \(n_2 - 1\) przy zadanym poziomie istotności. Odrzucamy hipotezę zerową o równości wariancji w próbach, jeżeli wartość statystyki testowej \(f\) jest większa od wartości granicznej \(f_\alpha\). Funkcja var.test zwraca wartość pvalue, którą interpretujemy, analogicznie jak w przypadku funkcji t.test. Funkcję var.test możemy użyć na danych typu ‘stack’ jak i ‘unstack’.

var.test(Zaw.pr~Gosp, data = dane1)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  Zaw.pr by Gosp
## F = 0.9, num df = 8, denom df = 9, p-value = 0.8926
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.2194075 3.9215098
## sample estimates:
## ratio of variances 
##                0.9

Uzyskane wyniki (pvalue>\(\alpha\)), nie pozwalają na odrzucenie hipotezy zerowej, więc możemy przyjąć, że zmienność zawartości próchnicy (wariancja) w gospodarstwie A i B jest taka sama.

Ćwiczenie 2

Dla danych w pliku Cw_3_1.txt obliczyć statystykę testową f i porównać ją z wartością krytyczną \(f_\alpha\).

Podpowiedź

Wartość krytyczną \(f_\alpha\) możemy uzyskać z funkcji R qf.

Ćwiczenie 3

Czy zmienność plonów w gminie 1 i gminie 2 jest taka sama? (dane Cw3_2.txt)