Wprowadzenie

Test t opiera się na założeni, że nasze dane pochodzą z rozkładu normalnego. W przypadku jednej próbki mamy dane \(x_1,...,x_n\), które powinny spełniać założenia:

Testujemy hipotezę zerową (\(H_0:\mu=\mu_0\)), że nasza średnia w populacji równa jest wartości \(\mu_0\). Szacujemy wartość średnią w populacji (\(\mu\)) i odchylenie standardowe populacji (\(\sigma\)) na podstawie średniej z próby \(\overline{x}\) oraz odchylenia standardowego z próby (\(s\)).

Kluczowy koncept w tych rozważaniach to błąd standardowy średniej, \(SEM\). Opisuje on zmienność (wariancję) średniej z \(n\) losowych wartości z populacji o średniej \(\mu\) i wariancji \(\sigma\). \(SEM\) definiujemy jako: \[SEM=\sigma/\sqrt{n}\] i oznacza, że jeżeli wykonamy eksperyment kilkukrotnie licząc za każdym razem średnią z otrzymanych wyników, wtedy otrzymane średnie, będą należeć do dystrybucji, która jest węższa niż oryginalna dystrybucja. Kluczową konkluzją jest to, że możemy obliczyć empiryczne \(SEM\) mając wyniki wyłącznie z jednej serii pomiarów, w takim wypadku, na podstawie empirycznej wartości \(s\), jako \(SEM=s/\sqrt{n}\). Wartość ta pozwala nam stwierdzić jak bardzo otrzymana wartość średniej (empiryczna) \(\overline{x}\), może różnić się od prawdziwej wartości średniej w populacji (\(\mu\)). Dla rozkładu normalnego istnieje 95% prawdopodobieństwa, że wylosowana wartość będzie w przedziale \(\mu\pm2\sigma\), możemy więc założyć, że jeżeli \(\mu_0\) jest prawdziwą średnią w populacji to \(\overline{x}\) powinno znajdowac się w przedziale \(2SEM\) od wartości średniej populacji (\(\mu_0\)). Formalnie możemy to zapisać \[t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{SEM}\] i sprawdzić czy wartość \(t\) znajduje się w przedziale prawdopodobieństwa równemu określonej przez poziom istotności - \(\alpha\).

W małych próbach, konieczne jest użycie poprawki, ponieważ w obliczeniach używamy empirycznej wartości \(SEM\), i dystrybucja \(t\) odbiega w częściach “ogonowych” od dystrybucji rozkładu normalnego \(N(0,1)\): duże odcylenia zdażają się częściej niż w rozkładzie normalnym. Z tego powodu dla małych prób korzystamy z rozkładu \(t-studenta\) o liczbie stopni swobody \(f=n-1\).

Jeżeli obliczona wartość \(t\) znajduje się poza akceptowalnym regionem przy zadymam poziomie istotności \(\alpha\) wtedy odrzucamy hipotezę zerową przy tym poziomie istotności. Alternatywnie (jest to równoznaczne) możemy obliczyć wartość p-value, która określa prawdopodobieństwo uzyskania wartości większej od wartości \(t\) i odrzucić hipotezę (zerową) jeżeli p-value jest mniejsze od przyjętego poziomu istotności.

Przykład 1 Dane przedstawiają dzienne zapotrzebowanie energetyczne (kJ) 11 kobiet (Altman, 1991, p. 183)

# dane
daily.intake <- c(5260,5470,5640,6180,6390,6515,6805,7515,7515,8230,8770)

Ćwiczenie1

Prosze obliczyć odstawowe statystyki dla danych:

## [1] 6753.636
## [1] 1142.123
##   0%  25%  50%  75% 100% 
## 5260 5910 6515 7515 8770

Algorytm postępowania:

  1. Formułujemy hipotezę zerową \(H_0\) i hipotezę alternatywną \(H_a\)

Należy zwrócić uwagę, że hipoteza zerowa zawsze ma postać: \[H_0:\mu=\mu_0\] W naszym przypadku hipoteza zerowa będzie brzmiała: Dzienne zapotrzebowanie energetyczne kobiet nie różni się statystycznie od zalecanej wartości 7725

Hipoteza alternatywna ma postać: \[H_a:\mu\neq\mu_0\]

  1. Testujemy hipotezę (wykonujemy test statystyczny)

  2. Na postawie otrzymanych wyników testu odrzucamy lub nie odrzucamy - nie mamy podstaw, hipotezę zerową na zadanym poziomie istotności

    Uwaga!

    Nawet jeżeli nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, nie oznacza to że jest ona prawdziwa!

    Jeżeli odrzucimy hipotezę zerową na zadanym poziomie istotności oznacza to, że z prawdopodobieństwem \(1-\alpha\) hipoteza zerowa jest błędna. W takim wypadku przyjmujemy hipotezę alternatywną (z prawdopodobieństwem \(1-\alpha\)).

# test t w R
t.test(daily.intake,mu=7725)
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  daily.intake
## t = -2.8208, df = 10, p-value = 0.01814
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 7725
## 95 percent confidence interval:
##  5986.348 7520.925
## sample estimates:
## mean of x 
##  6753.636

Przedział ufności dla średniej

Jest to przedział wartości (min, max) między którymi z prawdopodobieństwem 95% znajduje się prawdziwa średnia populacji. Bazuje ona na równaniu dla statystyki \(t\) i dla poziomu istotności \(\alpha = 0.05\) przyjmuje postać \[\overline{x}-t_{0.975}(f)\times SEM<\mu<\overline{x}+t_{0.975}(f)\times SEM\]

Ćwiczenie 2

W pliku react.txt znajdują się różnice w pomiarach [obszar reakcji mm] próby tuberkulinowej na grupie pacjentów wykonane przez dwie pielęgniarki.