---
title: "Test t"
author: "Bartosz Kozak"
date: "7 kwietnia 2019"
output:
  pdf_document: default
  html_document:
    df_print: paged
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

## Wprowadzenie

Test `t` opiera się na założeni, że nasze dane pochodzą z rozkładu normalnego. W przypadku jednej próbki mamy dane $x_1,...,x_n$, które powinny spełniać założenia:

- niezależność
- losowe
- pochodzą z dystrybucji $N(\mu,\sigma^2)$

Testujemy hipotezę zerową ($H_0:\mu=\mu_0$), że nasza średnia w populacji równa jest wartości $\mu_0$. Szacujemy wartość średnią w populacji ($\mu$) i odchylenie standardowe populacji ($\sigma$) na podstawie średniej z próby $\overline{x}$ oraz odchylenia standardowego z próby ($s$).

Kluczowy koncept w tych rozważaniach to *błąd standardowy średniej*, $SEM$. Opisuje on zmienność (wariancję) średniej z $n$ losowych wartości z populacji o średniej $\mu$ i wariancji $\sigma$. $SEM$ definiujemy jako: $$SEM=\sigma/\sqrt{n}$$ i oznacza, że jeżeli wykonamy eksperyment kilkukrotnie licząc za każdym razem średnią z otrzymanych wyników, wtedy otrzymane średnie, będą należeć do dystrybucji, która jest węższa niż oryginalna dystrybucja. Kluczową konkluzją jest to, że możemy obliczyć empiryczne $SEM$ mając wyniki wyłącznie z jednej serii pomiarów, w takim wypadku, na podstawie empirycznej wartości $s$, jako $SEM=s/\sqrt{n}$. Wartość ta pozwala nam stwierdzić jak bardzo otrzymana wartość średniej (empiryczna) $\overline{x}$, może różnić się od prawdziwej wartości średniej w populacji ($\mu$). Dla rozkładu normalnego istnieje 95% prawdopodobieństwa, że wylosowana wartość będzie w przedziale $\mu\pm2\sigma$, możemy więc założyć, że jeżeli $\mu_0$ jest prawdziwą średnią w populacji to $\overline{x}$ powinno znajdowac się w przedziale $2SEM$ od wartości średniej populacji ($\mu_0$). Formalnie możemy to zapisać $$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{SEM}$$ i sprawdzić czy wartość $t$ znajduje się w przedziale prawdopodobieństwa równemu określonej przez *poziom istotności* - $\alpha$.

W małych próbach, konieczne jest użycie poprawki, ponieważ w obliczeniach używamy empirycznej wartości $SEM$, i dystrybucja $t$ odbiega w częściach "ogonowych" od dystrybucji rozkładu normalnego $N(0,1)$: duże odcylenia zdażają się częściej niż w rozkładzie normalnym. Z tego powodu dla małych prób korzystamy z rozkładu $t-studenta$ o liczbie stopni swobody $f=n-1$.

Jeżeli obliczona wartość $t$ znajduje się poza akceptowalnym regionem przy zadymam *poziomie istotności* $\alpha$ wtedy odrzucamy hipotezę zerową przy tym poziomie istotności. Alternatywnie (jest to równoznaczne) możemy obliczyć wartość *p-value*, która określa prawdopodobieństwo uzyskania wartości większej od wartości $t$ i odrzucić hipotezę (zerową) jeżeli *p-value* jest mniejsze od przyjętego *poziomu istotności*.

**Przykład 1**
Dane przedstawiają dzienne zapotrzebowanie energetyczne (kJ) 11 kobiet (Altman, 1991, p. 183)



```{r}
# dane
daily.intake <- c(5260,5470,5640,6180,6390,6515,6805,7515,7515,8230,8770)
```
*Ćwiczenie1*

Prosze obliczyć odstawowe statystyki dla danych:

- średnia
- odchylenie standardowe
- kwantyle

```{r, echo=FALSE}
# średnia
mean(daily.intake)
# odchylenie standardowe
sd(daily.intake)
# kwantyle
quantile(daily.intake)
```

## Algorytm postępowania:

1. Formułujemy hipotezę zerową $H_0$ i hipotezę alternatywną $H_a$

  Należy zwrócić uwagę, że hipoteza zerowa zawsze ma postać: $$H_0:\mu=\mu_0$$ W naszym przypadku hipoteza zerowa będzie brzmiała: *Dzienne zapotrzebowanie energetyczne kobiet nie różni się **statystycznie** od zalecanej wartości 7725*

  Hipoteza alternatywna ma postać: $$H_a:\mu\neq\mu_0$$

2. Testujemy hipotezę (wykonujemy test statystyczny)

3. Na postawie otrzymanych wyników testu **odrzucamy** lub **nie odrzucamy** - nie mamy podstaw, hipotezę zerową na zadanym *poziomie istotności*

   **Uwaga!**

   Nawet jeżeli nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, **nie oznacza to że jest ona prawdziwa!**

   Jeżeli odrzucimy hipotezę zerową na zadanym *poziomie istotności* oznacza to, że z prawdopodobieństwem $1-\alpha$ hipoteza zerowa jest błędna. W takim wypadku przyjmujemy hipotezę alternatywną (z prawdopodobieństwem $1-\alpha$).

```{r}
# test t w R
t.test(daily.intake,mu=7725)
```   


## Przedział ufności dla średniej

Jest to przedział wartości (min, max) między którymi z prawdopodobieństwem 95% znajduje się prawdziwa średnia populacji. Bazuje ona na równaniu dla statystyki $t$ i dla poziomu istotności $\alpha = 0.05$ przyjmuje postać $$\overline{x}-t_{0.975}(f)\times SEM<\mu<\overline{x}+t_{0.975}(f)\times SEM$$

*Ćwiczenie 2*

W pliku react.txt znajdują się różnice w pomiarach [obszar reakcji mm] próby tuberkulinowej na grupie pacjentów wykonane przez dwie pielęgniarki. 

- Czy dane pochodzą z rozkładu normalnego? 
- Na *poziomie istotności* $\alpha=0.05$ odpowiedz na pytanie czy pomiary wykonane przez pielęgniarki różnią się istotnie statystycznie?